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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.3. Hallar un valor $N$ a partir del cual todos los terminos a partir de dicho $N$ verifiquen que
e) $a_{n}=\frac{n+5}{n^{2}+1}$ esté entre 0 y 0,2

Respuesta

Ahora en este caso tenemos que pedir que

$ 0 < \frac{n+5}{n^{2}+1} < 0.2$

Como ya vimos en el item anterior, la desigualdad de la izquierda se cumple siempre, para cualquier $n$ natural. Veamos a partir de qué $n$ se cumple que 

$\frac{n+5}{n^{2}+1} < 0.2$

$n+ 5 < 0.2 \cdot (n^2 + 1)$

$n+ 5 < 0.2 \cdot n^2 + 0.2$

$ 0.2 \cdot n^2 + 0.2 - n - 5 > 0$

$ 0.2 \cdot n^2 - n - 4.8 > 0$

Y lo analizamos de la misma forma que antes. Graficamos la función $0.2x^2 - x -4.8$ y nos fijamos a partir de qué natural es positiva. Esta parábola tiene su raíz en los $x$ positivos en $x=8$. Así que el primer natural para el cual verifica que es estrictamente mayor que cero, es $n = 9$.
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Avatar Valentina 26 de octubre 17:09
Hola flor, como estas? no entendi de donde sale en n=9
Avatar Flor Profesor 27 de octubre 09:16
@Valentina Hola Valen! Sale de hacer el gráfico de la cuadrática $0.2x^2 -x - 4.8$ -> Es una parábola "carita feliz" que tiene una raíz en $x=8$, entonces si sólo estamos mirando los $x$ naturales, nos preguntamos a partir de qué número natural está parábola es positiva... bueno, justo en el 8 vale cero, así que el siguiente natural es el 9 y ahí ya es positiva

Tranqui igual con este ejercicio, medio volado para lo que después aparece en los parciales de UBA XXI. De hecho, justo en general toda esta práctica de Series difiere bastante el enfoque de los ejercicios de la guía y de los parciales, así que justo en esta te sugiero que si o si mirate bien bien ejercicios de parciales (consejo no oficial jaja)
Avatar Valentina 27 de octubre 14:24
@Flor gracias Flor :)
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