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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.3.
Hallar un valor $N$ a partir del cual todos los terminos a partir de dicho $N$ verifiquen que
e) $a_{n}=\frac{n+5}{n^{2}+1}$ esté entre 0 y 0,2
e) $a_{n}=\frac{n+5}{n^{2}+1}$ esté entre 0 y 0,2
Respuesta
Ahora en este caso tenemos que pedir que
Reportar problema
$ 0 < \frac{n+5}{n^{2}+1} < 0.2$
Como ya vimos en el item anterior, la desigualdad de la izquierda se cumple siempre, para cualquier $n$ natural. Veamos a partir de qué $n$ se cumple que
$\frac{n+5}{n^{2}+1} < 0.2$
$n+ 5 < 0.2 \cdot (n^2 + 1)$
$n+ 5 < 0.2 \cdot n^2 + 0.2$
$ 0.2 \cdot n^2 + 0.2 - n - 5 > 0$
$ 0.2 \cdot n^2 - n - 4.8 > 0$
Y lo analizamos de la misma forma que antes. Graficamos la función $0.2x^2 - x -4.8$ y nos fijamos a partir de qué natural es positiva. Esta parábola tiene su raíz en los $x$ positivos en $x=8$. Así que el primer natural para el cual verifica que es estrictamente mayor que cero, es $n = 9$.